LCP-19 秋叶收藏集

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小扣出去秋游，途中收集了一些红叶和黄叶，他利用这些叶子初步整理了一份秋叶收藏集 leaves， 字符串 leaves 仅包含小写字符 r 和 y， 其中字符 r 表示一片红叶，字符 y 表示一片黄叶。
出于美观整齐的考虑，小扣想要将收藏集中树叶的排列调整成「红、黄、红」三部分。每部分树叶数量可以不相等，但均需大于等于 1。每次调整操作，小扣可以将一片红叶替换成黄叶或者将一片黄叶替换成红叶。请问小扣最少需要多少次调整操作才能将秋叶收藏集调整完毕。

示例 1：

输入：leaves = “rrryyyrryyyrr”

输出：2

解释：调整两次，将中间的两片红叶替换成黄叶，得到 “rrryyyyyyyyrr”

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/UlBDOe

解法思路

这题有两种解法，先着重写一下前缀和+动态规划的解法。

要将树叶分成红-黄-红三部分，关键就是要找到2个分界点。不妨将这两个点设为x,y.

[0,x-1] 红

[x,y-1] 黄

[y,n-1] 红

那么我们需要操作的次数，就是第一段中黄色的个数、第二段中红色的个数以及第三段中黄色的个数之和，我们的目标就是要找到这个和的最小值。

为了更方便的表示每段中不同颜色的个数，我们可以定义一个前缀和数组，

$$sumR[i]=leaves[0,i]中红色的个数$$

所以需要进行的操作次数可表示为：

$$\begin{aligned} op=&\left( x-sumR\left[ x-1 \right] \right) +\left( sumR\left[ y-1 \right] -sumR\left[ x-1 \right] \right) \\ &+\left( \left( n-y \right) -\left( sumR\left[ n-1 \right] -sumR\left[ y-1 \right] \right) \right) \\ =&\left( x-2sumR\left[ x-1 \right] \right) -\left( y-2sumR\left[ y-1 \right] \right) \\ &+n-sumR\left[ n-1 \right] \end{aligned}$$

$n-sumR\left[ n-1 \right] $是常数不用管，而观察到x,y相关的表达式形式是统一的，因此不妨令

$$t[i]=i+1-2*sumR[i]$$

要求op的最小值，就转化为求$t[x]-t[y]$的最小值，或者说，求$t[y]-t[x],(y>x)$的最小值。那么问题就转化成求股票最大差价的问题了，就是一个典型的动态规划问题。

下面需要关心一下x,y的取值范围。

$$n-1 \ge y \ge x+1\\ x \ge 1$$

那么x的范围就是$[1,n-2]$.

因此只需一次遍历t[n]数组，就能得到最大差值。

总体来说，时间复杂度为O(n)，空间复杂度也为O(n)。

代码实现

class Solution:
    def minimumOperations(self, leaves: str) -> int:
        n=len(leaves)
        sumR = [0]*n
        sumR[0]=int(leaves[0]=='r')
        # 计算 sumR
        for i in range(1,n):
            sumR[i]=sumR[i-1]+int(leaves[i]=='r')
		# 计算 t
        for i in range(n):
            t[i]=i+1-2*sumR[i]
        minT=float("inf")
        max_delta=-float("inf")
        # 计算 max(t[x]-t[y])
        for i in range(1,n-1):
            minT=min(t[i-1],minT)
            max_delta=max(max_delta,t[i]-minT)
        return n-sumR[n-1]-max_delta